Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.
Spis treści
Konstrukcja pojęcia pola
I Definicja
Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i nie w tym problem - problem w tym aby była równa mierze wewnętrznej
Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:
- Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach a1.
- Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez n1.
Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach , itd. uzyskujemy ciąg liczb n1,n2,....
Polem powierzchni nazywamy granicę:
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur
- Zbiory
- Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
- Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
- Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
- Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a.
- Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.
Definicja szkolna
Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.
- Obieramy kwadrat o boku 1.
- Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
- Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
Definicja ta podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.
Pole pod krzywą
Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej
Pola typowych figur
- Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi:
- pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b:
- Koło o promieniu r:
- Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):